2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

Transkript

1 1 Föeläsning i Giffiths Randvillko (Kap ) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells ekvatione föenliga andvillkoen ä: 1 n^ 2 S 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektiska fältstykan ä alltid kontinuelig) 2. ˆn H 1 ˆn H 2 = J Sf (tangentialkomponenten av den magnetiska fältstykan ä diskontinuelig med spång J Sf, fia ytstömma) 3. ˆn B 1 ˆn B 2 = 0 (nomalkomponenten av den magnetiska flödestätheten ä alltid kontinuelig) 4. ˆn D 1 ˆn D 2 = ρ Sf (nomalkomponenten av den elektiska flödestätheten ä diskontinuelig med spång ρ Sf, fia ytladdninga) Vågekvationen Fån Maxwells ekvatione E = B Faadays lag H = J f + D Ampèes (genealiseade) lag D = ρ f Gauss lag B = 0 Flödeskonseveing

2 2 ä det ganska ättfamt att häleda vågekvatione fö de elektiska och magnetiska fälten. Antag, linjät, isotopt, homogent (µ, ε konstanta) mateial, dvs. { D = εe Vi få mha. Maxwells ekvatione B = µh ( E) = B }{{} = µ H = µ ( E) 2 E vilket i sin tu ge 2 E εµ 2 E = ( E)+µ J f 2 ( = 1 ε ρ f +µ J f J f + D ) }{{} ε E dvs. den tedimensionella vågekvationen med en källtem ρ f /ε+µ J f. Vaje katesisk komponent uppfylle den endimensionella vågekvationen. 2 f(,t) 1 c 2 2 f(,t) 2 = källtem dä c = 1/ µε=våghastigheten. I vakuum ä våghastigheten exakt given av c 0 = m/s. På samma sätt häleds den tedimensionella vågekvationen fö det magnetiska fältet H(,t). Resultatet ä 2 E 1 2 E c 2 = 1 2 ε ρ f +µ J f 2 H 1 2 H = J c 2 2 f Fälten E och H skapas i något omåde dä det finns laddninga och stömma, t.ex. i en antenn. Fälten fädas ut fån omådet som elektomagnetiska vågo. Fälten fö dessa vågo måste uppfylla ekvationena ovan. I källfitt vakuum gälle de homogena vågekvationena 2 E 1 2 E c 2 0 = H 1 2 H = 0 c (0.1)

3 3 Planvågslösninga och deas egenskape Lösninga till vågekvationena (0.1) som baa beo av z och t, d.v.s. E(z,t) och H(z,t), kallas plana vågo eftesom de fö en fix tid ä konstanta vektoe i vaje plan z =konstant. På stoa avstånd fån en källa ä planvågsappoximationen ofta elevant och den föenkla både analysen och den fysikaliska tolkningen. Av dessa anledninga används den flitigt inom optik och mikovågsteknik. Hä följe te viktiga egenskape fö plana vågo i vakuum: 1. Plana vågo ä tansvesella, E z (z,t) = 0 och H z (z,t) = Två type: E + (z ct) som ö sig i positiv z led och E (z+ct) som ö sig i negativ z led E(z,t) = E + (z ct)+e (z +ct) H(z,t) = H + (z ct)+h (z +ct) 3. Regeln om högesystem: Låt ˆk vaa planvågens utbedningsiktning. Då bilda E, H, ˆk ett otogonalt högesystem dä E H = η µ0 0 = = 120πΩ = vågimpedansen fö vakuum ε 0 E B = c 0 = ljushastigheten i vakkum H En planvåg med utbedningsiktning ˆk, dä ˆk ä en enhetsvekto, kan skivas E(ˆk c 0 t) Tidshamoniska plana vågo k H(ˆk c 0 t) = η 1 0 ˆk E(ˆk c 0 t) En tidshamonisk planvåg vaiea sinusfomat i både um och tid. Nästan all tådlös kommunikation ske med hjälp av bävågo som ä tidshamoniska. Även inom optiken ä tidshamoniska vågo vanliga. En lase ge t.ex. ifån sig ljus med en bestämd fekvens och detta ljus ä då tidshamoniskt. En tidshamonisk planvåg som ö sig i positiv z led kan skivas E(z,t) = E 0 sin(kz ωt+α 0 )ˆx+E 1 sin(kz ωt+α 1 )ŷ H(z,t) = η0 1 ẑ E(z,t) = η 1 0 (E 0 sin(kz ωt+α 0 )ŷ E 1 sin(kz ωt+α 1 )ˆx) Hä ä ω = 2πf =vinkelfekvensen, f =fekvensen, k = ω c 0 = 2π λ =vågtalet, λ = c 0 f =våglängden, α 0 =fasvinkel och α 1 =fasvinkel. E

4 4 Lösning av vågekvationen (Kusivt) På föeläsning 13, som handla om antenne, behöve vi använda lösningen till den skaläa vågekvationen fö att kunna konstuea de tidsbeoende elektomagnetiska fälten fån en antenn. Fö fullständighetens skulle visa vi hä hu man få fam lösningen i det skaläa fallet. Tentamen komme inte att innehålla uppgifte dä det kävs att man föstå häledningen. Man bö dock föstå att lösningen ä kausal, d.v.s. att det ta en tid /c fö en signal att fädas stäckan. Vi skall nu studea lösninga V = V(,t) till vågekvationen 2 V(,t) 1 c 2 2 V(,t) 2 = ρ(,t) Detta ä samma ekvation som dyke upp i akustiken. Enda skillnaden ä att våghastigheten ä betydligt läge fö akustiska vågo än fö elektomagnetiska vågona. Låt källtemen föst vaa en "punktladdning" i oigo, dvs. ρ(,t) = δ()q(t) Obsevea att detta ä en matematik konstuktion som inte alltid kan ealiseas fysikaliskt. Vi söke sfäiskt symmetiska lösninga V = V(, t). I sfäiska koodinate få vi vågekvationen ( ) 1 2 V(,t) 1 2 V(,t) = δ()q(t) ( ) 2 c 2 2 En lösning till den källfia ekvationen ä V(,t) = f( ct), > 0 dä f ä en godtycklig (snäll) funktion. 1 Funktionen f bestäms av funktionen q(t) i oigo. Resultatet ä f(ξ) = q( ξ/c) 4π 1 Vi kontollea detta genom att beäkna de patiella deivatona m.a.p. och t. vilket ge f( ct) = f ( ct) ( 2 ) f( ct) ( f( ct) 2 = c 2f ( ct) f( ct) 2 = (f ( ct)) f( ct) = f ( ct) f( ct) ) 1c 2 f( ct) 2 2 = f ( ct) 1 2c2f ( ct) = 0 c

5 5 Bevis Vi visa detta esultat, men beviset kan hoppas öve fö den som inte ä intessead. Integea båda sido i ( ) öve ett klot centeat i oigo med adie ǫ. ǫ 2 V(,t) dv 1 c 2 ǫ De olika temena i vänste led bli: 2 V(,t) dv = 4π 2 ǫ 2 V(,t) 2 ǫ 0 dv = δ()q(t) dv = q(t) ( ) ǫ c 2 f ( ct) 2 d 0, ǫ 0 och med divegenssatsens hjälp 2 V(,t) dv = ˆ ds = 4πǫ ǫ}{{} =ǫ V 2 f( ct) =ǫ ( V) ( f =4πǫ 2 (ǫ ct) f(ǫ ct) ) 4πf( ct), ǫ 0 ǫ ǫ 2 Resultatet fån ( ) bli i gänsen ǫ 0: 4πf( ct) = q(t) vilket visa det önskade esultatet. Lösningen till vågekvationen ( ) bli däfö V(,t) = f( ct) = q(t /c) 4π Lösning fö tanslatead "punktladdning". V(,t) = q(t /c) 4π Totalt fån hela laddningsfödelningen ρ(, t) fås genom att integea öve alla källo, dvs. ρ(,t /c) V(,t) = dv R 4π 3 Fysikalisk tolkning:

6 6 mätpunkt (,t) gångtid j j/c källpunkt (,t-j j/c) Oigo Tidsagumentet i integalen ä tidsföskjutet med gångtiden mellan käll- och mätpunkt. Jämföelse med det elektostatiska fallet 2 V() = ρ()/ε 0 med lösning ρ( ) V() = R 4π 3 dv vilket motsvaa oändlig utbedningshastighet c.